Концепция Value-at-Risk

Далее, уравнение можно записать в дискретной форме:

то есть ,

, ., .

Траектория цен - это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например на тысячном или десятитысячном. Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг Δt = 1/n, а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению [2].

Для моделирования траектории цен справедлива следующая формула, описывающая значение цены S в k-ый момент времени:

Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге. Метод Монте-Карло предполагает переоценку портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.

Пошагово метод Монте-Карло работает следующим образом [2, стр. 308]:

1) По ретроспективным данным рассчитываются оценки математического ожидания μ и волатильности σ;

2) С помощью генератора случайных чисел генерируются нормально распределенные случайные числа ε с математическим ожиданием, равным μ, и стандартным отклонением σ;

3) Полученными на предыдущем шаге случайными числами ε заполняется таблица произвольной размерности (для обеспечения высокой точности она должна быть достаточно большой, например 500 столбцов на 1000 строк).

4) Вычисляется траектория моделируемых цен вплоть до S1000 по выше приведенной формуле.

5) Производится переоценка стоимости портфеля (состоящего в данном примере из одного актива) по формуле: ΔV= Q(S1000 - S0), где Q - количество единиц актива.

6) Шаги 4 и 5 выполняются 500 раз для заполнения таблицы 500х1000. Полученные 500 значений ΔV сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка). Эти ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до 500. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 - α), риск-менеджер может определить VaR как такой максимальный убыток, который не превышается в 500(1 - α) случаях, т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным 500(1 - α).

7) Шаги 1-6 повторяются для каждого расчета каждого дневного VaR.

Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать непосредственно исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением. Такое построение выборки исторических данных позволяет учесть эффект толстых хвостов и скачки цен, не строя предположений о виде распределения.